Różnica między aksjomatem a pewnikiem

Różnica między aksjomatem a pewnikiem

Fragment książki Propedeutyka filozofii Kazimierza Ajdukiewicza

Nauki aprioryczne

Nauki aprioryczne scharakteryzowaliśmy jako takie nauki, które nie uważają świadectwa doświadczenia za wystarczającą legitymację dla swych twierdzeń. Ponieważ każda nauka, by móc zacząć wnioskować, musi przyjmować jakieś twierdzenia nie- wywnioskowane jako ostateczne, czy też pierwsze przesłanki, od których wszelkie wnioskowanie się zaczyna, zatem powstaje py­tanie, jakie to twierdzenia nie wywnioskowane z innych są w na­ukach apriorycznych dopuszczalne. Na pytanie to nie można udzielić jednolitej odpowiedzi.

Istnieją bowiem dwa stadia rozwojowi nauk apriorycznych, różniące się m. i. tym. że co innego jest przyjmowane na jednym, a co innego na drugim z tych stadiów jako ostateczna niewywnioskowana przesłanka. Wcześniejsze sta­dium nauk apriorycznych to tzw. stadium przedaksjomatyczne, późniejsze to stadium aksjomatyczne. Na każdym z tych stadiów inaczej się przedstawia struktura metodologiczna nauk apriorycz­nych.

Na stadium przedaksjomatycznym dopuszczalnymi bez do­wodu twierdzeniami są wszelkie twierdzenia, mogące liczyć na to, że dla wszystkich mniej więcej ludzi są oczywiste.

W charakterze pierwszych przestanek, na których się we wszelkich rozumowa­niach wolno oprzeć, mogą więc wystąpić wszelkie sądy powszech­nie oczywiste.

Te oczywiste, naczelne twierdzenia nazywają się pewnikami.

Z pewników wolno wysnuwać wnioski wyłącznie tylko metodą dedukcyjną. Wniosek, wyprowadzony dedukcyjnie z pewników lub z twierdzeń już przedtem wyprowadzonych z pewników na drodze dedukcyjnej, zyskuje przez to również prawo obywatel­stwa w nauce apriorycznej jako jej twierdzenie. Fakt ten, że w naukach apriorycznych jedynie tylko wnioski, wywiedzione z pewników przez wnioskowanie dedukcyjne, zostają przyjęte do rzędu ich twierdzeń, jest też powodem, dla którego nauki aprio­ryczne nazywa się też naukami dedukcyjnymi.

Nie znaczy to, ja­koby matematyk nie posługiwał się nigdy metodą indukcyjną. Owszem metoda indukcyjna niejednokrotnie nasuwa matematy­kowi pomysł jakiegoś twierdzenia, jednakże dopóki twierdzenie to jedynie tylko takim indukcyjnym wywodem może się wykazać, dopóty nie jest jeszcze przyjęte do rzędu twierdzeń matematyki. (N. b. gdy mowa tu o indukcji, mamy na myśli indukcję niezu­pełną. nie zaś indukcję matematyczną lub indukcję zupełną, które to rozumowania, jak juz powiedzieliśmy, są rozumowaniami de­dukcyjnymi). I tak np. zauważenie związków następujących:

1 =1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + n = 3²
1+3 + 5 + 7 = 4²

nasuwa nam pomysł twierdzenia, że suma n kolejnych pierwszych liczb nieparzystych jest równa kwadratowi liczby n. Dopóki jed­nak to ogólne twierdzenie znajduje oparcie tylko w przekonaniu o słuszności kilku swych szczegółowych przypadków, dopóty nie mamy go prawa uważać za twierdzenie matematyczne. Stanie się ono dopiero wtedy twierdzeniem matematyki, gdy zostanie dlań podany dowód, wyprowadzający je na drodze dedukcyjnej z pew­ników.

Gdy w stadium przedaksjomatycznym poczęto z pewników na drodze dedukcyjnej wyprowadzać wnioski, stwierdzono m. i., że niektóre pewniki dają się wyprowadzić z innych na drodze de­dukcyjnej. Np. niewątpliwie każdy uzna za pewniki następujące trzy twierdzenia:

1°) jeżeli a jest w ogóle czemuś równe, to a jest równe samo sobie,
2°) jeżeli a jest równe b. to b jest równe a,
3°) jeżeli a jest równe b, to jeżeli b jest równe c, to a jest równe c.

Możemy te twierdzenia zapisać w następującej jeszcze po­staci :

1°) jeżeli a = b, to a = a
2°) jeżeli a — b, to b — a
3°) jeżeli a — b, to jeżeli b = c, to a — c.

Otóż łatwo się przekonać, że pierwszy z tych pewników daje się na drodze dedukcji wyprowadzić z obu pozostałych (por. § 11 zad. 8).

Zwrócenie uwagi na to, że niektóre pewniki dają się na drodze dedukcji wyprowadzić z innych, nasunęło myśl, aby zmienić do­tychczasowy przepis odnoszący się do tego, jakie sądy wolno nam przyjmować bez dowodu jako ostateczne przesłanki wszelkiego dowodu. Mianowicie zacieśniono i rozszerzono zarazem dotych­czasowy przepis w sposób następujący. Jako ostateczne przesłanki wszelkiego dowodu, przyjmowane bez dowodu, poczęto dopuszczać  tylko pewne wyraźnie wymienione spośród twierdzeń, co do których prawdziwości nie nasuwała się żadna wątpliwość, i które ra­zem wzięte uważano za wystarczające do tego, aby z nich wydedukować wszystkie twierdzenia, dające się w danej dziedzinie wyprowadzić dedukcyjnie z pewników.

Te wyraźnie wskazane twierdzenia, dopuszczalne odtąd jako ostateczne niedowodzone przesłania wszelkiego dowodu, nazwano aksjomatami, danej nauki apriorycznej, czyli dedukcyjnej. Jak z tego widać, nie każdy pew­nik należący do zakresu danej nauki będzie jej aksjomatem, lecz tylko wtedy pewnik stanie się aksjomatem danej nauki, jeśli zo­stanie jako taki wyraźnie wymieniony. Po drugie nie każdy aksjo­mat musi być pewnikiem, gdyż w roli aksjomatu może także figu­rować zdanie, które nie jest bezpośrednio oczywiste, lecz którego prawdziwość nie budzi w nas żadnej wątpliwości dzięki temu, że potrafiliśmy się o niej przekonać, wyprowadzając to twierdzenie na drodze dedukcji z sądów oczywistych.

W stadium aksjomatycznym. zatem jakiejś nauki apriorycznej ostatecznymi przesłankami, przyjętymi łtez dowodu, na których wolno się w dowodach opierać, są nieliczne wyraźnie wymienione zdania, zwane aksjomatami.

One są też jedynymi twierdzeniami, uzyskującymi prawo obywatelstwa w tej nauce, nie legitymując się dowodem. Wszystkie inne zdania dopiero wtedy będą jako twierdzenia tej nauki przyjęte, gdy zostaną wywiedzione z aksjo­matów na drodze dedukcji. (Wyjątek stanowią jedynie definicje syntetyczne). Sądy oczywiste, pewniki, o ile nie zostały podnie­sione do rzędu aksjomatów, nie mają jako takie żadnych praw wyjątkowych i zostają również dopiero wtedy przyjęte jako twier­dzenia danej nauki, gdy się wykażą dowodem, wyprowadzającym je na drodze dedukcji z wyraźnie wymienionych aksjomatów. W naukach dedukcyjnych, które przyjęły szatę aksjomatyczną, spotykamy się też często z dowodami (nieraz bardzo zawiłymi), wyprowadzającymi twierdzenia zupełnie oczywiste z przesłanek nie odznaczających się bynajmniej większą od nich oczywistością.

Nauka aprioryczna, która przyjęła postać aksjomatyczną, nosi nazwę systemu dedukcyjnego lub też systemu aksjomatycznego.

Wśród systemów dedukcyjnych istnieje pewna hierarchia, nie­które bowiem systemy dedukcyjne opierają się na innych w tym sensie, że aksjomaty tego innego systemu zaliczają między swoje własne aksjomaty. I tak np. wszystkie systemy dedukcyjne mate­matyczne opierają się na systemie dedukcyjnym logiki formalnej. Każdy bowiem system matematyczny zalicza (zwykle milcząco) aksjomaty logiki do twierdzeń przyjmowanych bez dowodu, tj. do aksjomatów. Zwykle systemy dedukcyjne geometrii opierają się we wspomnianym wyżej sensie na systemie dedukcyjnym arytme­tyki (i oczywiście także logiki). Najbardziej podstawowym syste­mem dedukcyjnym jest wiec system logiki formalnej, służy on bowiem wszystkim innym systemom dedukcyjnym za podstawę, a sam żadnego innego systemu dedukcyjnego nie zakłada.

Zadania i pytania.

1. Wskaż znane ci z nauki szkolnej przykłady „dowodzenia” twierdzeń oczywistych, polegając na wyprowadzaniu ich z twierdzeń przyjętych jako aksjomaty.
2. Dlaczego każda nauka musi przyjmować twierdzenia, dla których nie podaje, dowodu?
3. Dlaczego każda nauka musi wprowadzać terminy, dla których nie podaje definicji?

 

Różnica między aksjomatem a pewnikiem